Introduction

线性代数的本质这个课程我大概已经完整的看过两遍以上了，但是当我想要找找当年的笔记，去回顾回顾里面的直观的动画时，发现已经基本上对里面的内容完全忘光了。

目前仅仅有一些笔记的记录，后续可能会上传一些动图的展示，看个人的时间吧。

回顾几个本质性的动画：

• chapter3: 二维矩阵 $\begin{pmatrix}a & b\\ c &d\end{pmatrix}$实际上就是一个坐标系的变换：原来的横坐标$\hat{i} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ 变换为$\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}$。纵坐标$\hat{j}$同理。

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x*\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}$$

• chapter4: 二维矩阵的乘法实际上就是一系列坐标系变换。

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}\\ 可以看成是对基向量\begin{pmatrix} e\\ g \end{pmatrix}和\begin{pmatrix} f\\ h \end{pmatrix}的变换。\\ \begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} e\\ g \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} f\\ h \end{pmatrix}\\ 最后将这两个向量合并，形成结果矩阵\begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$$

• chapter5: 二维行列式的值实际上就是带有方向的向量围成的面积，同理三维的表示体积。

• chapter6: $Ax=b$要有解必须$det(A)\ne 0$，原因是若为0，那么就会将二维的坐标压成一条直线，或者是原点，那么若压成一条直线与$b$不同方向，那么肯定是无解的。

  当然$Ax=0$想要有非0解必须$det(A) = 0$，原因很形象，若不为0，那么显然A可逆，对应的变换唯一，只能是0向量。只有为$det(A)=0$，才会使二维的向量压缩到一维，那么，才会有非零解向量压缩到零向量。

• chapter7: 点积的直观解释 $$\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}· \begin{bmatrix} y\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = ax+by$$ 其中$\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$看成是$\hat{i} 和 \hat{j}$从二维的向量投影到一维的数轴的坐标。$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$实际上也是往数轴上进行投影。

• chapter8: 叉积

二维的叉积就是矩阵行列式的值。

三维叉积是一个向量，大小为围成的面积，方向根据右手定则进行确定。

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w} = \overrightarrow{p}$，至于结果p为什么是面积大小，且垂直于四边形，且看下面的直观解释。

定义下面的运算： $$\begin{bmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3 \end{bmatrix}·\begin{bmatrix} x\\ y\\ x \end{bmatrix} = det(\begin{pmatrix} x & v_1 & w_1\\ y & v_2 & w_2\\ z & v_3 & w_3 \end{pmatrix})$$ 等式的右边就是一个立方体的体积，三条边就是竖着的三个向量。那么体积怎么算呢？就是$\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$构成的四边形面积*x向量在高度上的投影长度。

我们之前知道点积其实就是投影长度的积。

那么很显然，p长度就是$\overrightarrow{v}$和$\overrightarrow{w}$构成四边形面积大小，方向与平面垂直。

至于具体怎么计算，则 $$\overrightarrow{p} = \begin{pmatrix} \overrightarrow{i} & v_1 & w_1\\ \overrightarrow{j} & v_2 & w_2\\ \overrightarrow{k} & v_3 & w_3 \end{pmatrix}$$

• chapter9: 基变换

$Ax = b$, $x$是变换后坐标系的观察，$b$是正常坐标系。

至于为什么$x$是变化后坐标系的视野，根据前面的运算： $$\begin{pmatrix} a & b\\ c &d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = x*\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}$$ $\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}$分别是新的基底，那么（x, y）就是新坐标视野下的坐标。

• chapter10：特征向量和特征值

就是找到那么坐标变换后方向没有改变的向量，对应的特征值就是变化后的放缩值。

注意如何使用该特性对任意的矩阵进行幂运算。